潜在结果框架：倾向得分

可视化演示

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因果推断基础

想象老王真的拿到一台时光机。他可以让同一棵树在 2019 年吃肥，在 2020 年不吃肥，然后比较两次甜度。机器当然不存在，但潜在结果框架让老王的脑子里多了这台机器。它告诉老王：每一棵树 i 都同时拥有两个身份，一个是“施肥后的甜度”，一个是“不施肥的甜度”，就像一个人同时活在两个平行世界里。

我们把这两个身份记为 Y_i(1) 和 Y_i(0)。1 代表吃了肥，0 代表没吃肥。两者之间的差 Y_i(1) - Y_i(0)，就是这棵树个体的因果效应。可惜现实是一个残酷的剪辑师，只保留一个镜头：吃了肥的树你无法知道它不吃肥有多甜，没吃肥的树你无法知道它吃了肥有多甜。那个消失的镜头，就叫反事实。

为了得到全园的整体结论，因果推断关心平均处理效应 ATE：把所有树的个体效应取平均。如果老王像抛硬币一样随机决定施肥，那么两组树在年龄、光照、土质上不会有系统性差别，均值的差异就能直接归因于肥料。随机化是因果推断的金标准。

老王收起时光机的幻想，却很受用这套语言：所有因果推断努力，本质上都是在补全那个被现实剪掉的反事实镜头。接下来要做的，不是造机器，而是找一杆能在两组树之间称出公平的秤。

倾向得分原理

老王没有时光机，但他在果园里发现了一个规律：施肥并不是随便执行的，而是受树龄、光照、土质这些“协变量”摆布。于是他想：如果我能算出每一棵树被选去施肥的概率，这个概率是不是就能概括这棵树的全部偏心之处？

这个概率就是倾向得分 e(X)。树龄大、光照好的树被选中的概率高，处在冷角落、土质贫的树概率低。e(X) 把年龄、光照、土质等一堆特征压缩成一个 0 到 1 之间的数字，把高维的“找相似”问题，变成一维的“比概率”问题。

Rosenbaum 和 Rubin 在 1983 年证明了一个关键性质：在条件可忽略性假设下（即给定 X 时，处理分配与潜在结果独立），倾向得分是一个平衡得分。只要两组树在 e(X) 上相同，它们的协变量分布也趋于相同，处理分配就像随机化一样。这个结论把观测数据变成一场准实验。

老王终于松了口气：只要把每棵树被选去吃肥的概率算出来，就相当于找到了果园里的“偏心度”。剩下的工作，就是让偏心度相同的树走到一起比甜度。

匹配算法

老王想给每棵施肥树找一位“影子兄弟”——看起来条件相似但没吃肥的树。最朴素的办法是最邻近匹配：对每一位处理组个体，在对照组里找一个倾向得分最接近的个体。倾向得分越接近，说明两张“偏心名片”长得越像。

卡钳匹配给这个“最近”加上一道警戒线：如果两个个体倾向得分差得太大，宁可不匹配也不硬凑。分层匹配则先把全体样本按倾向得分切成若干层，再在每一层内比较结果；核匹配则用加权平均给一个处理个体匹配多个对照，让“影子兄弟”变成“影子兵团”。

影子兄弟不是完美的，但至少让比较不再像“校花与全年级比身高”。老王从一维的相似度入手，躲开了高维空间的度量灾难。

加权估计

匹配是一对一联姻，加权则是给所有样本重新称重。老王发现，与其辛苦地一对一配对，不如直接给每一棵树一个“纠偏权重”：那些明明条件很像对照组却吃了肥的树，权重应该大一些；那些条件很像处理组却没吃肥的树，也应该大一些。这样加权之后，两组的协变量分布会重新变得均衡。

逆概率加权（IPW）正是这个思路。处理组每个个体的权重取倾向得分的倒数 1/e，对照组每个个体取 1/(1-e)。本质是让样本分布“变回”一个处理分配完全随机的伪总体。稳定权重进一步在分子上乘上处理率或对照组比例，降低极端权重带来的方差。

老王想象把每一筐苹果按概率的“反概率”加水倒水，最终天平恢复平衡。他还可以把结果回归和倾向得分模型结合，这就是双重稳健估计：只要其中一个模型正确，估计依然保持一致。

性能评估

老王担心自己的“公平独木桥”是否真的公平，需要用尺子量。最常见的尺子是标准化差异（SMD）：比较每个协变量在匹配或加权前后的均值差，再除以合并标准差。它不像显著性检验那样受样本量影响，能更真实地反映两组差异有多大。

标准化差异的绝对值小于 0.1，通常被认为协变量已经得到良好平衡。与此同时还要做重叠诊断：看两组倾向得分分布是否有足够重叠。如果处理组的倾向得分都集中在 0.9 附近，对照组都集中在 0.1 附近，那么“影子兄弟”根本找不到同一片生活区域。敏感性分析则用来回答：如果存在一个未观测混杂变量，它要强到什么程度才能推翻当前结论？

老王知道了，光有影子兄弟还不够，还要给兄弟俩量身高、测体重，确认真的很像。匹配不是结束，验证平衡才是真正把话说到实处的时刻。

实战优化

老王开始调配方：不能把影响施肥但不会影响甜度的“工具变量”放进去，否则会放大方差；也不能放入处理后变量，否则会引入对撞偏倚。一个好的倾向得分模型，应该纳入同时影响处理分配和结局的混杂变量。

倾向得分最常用的拟合方式是 Logistic 回归：把处理变量对协变量做回归，得到每个个体进入处理组的概率。在协变量关系复杂时，还可以用广义加性模型、梯度提升等非参数方法拟合倾向得分。拟合之后，若发现极端倾向得分，例如小于 0.05 或大于 0.95，通常需要修剪，因为这些样本的权重会爆炸、匹配会失真。

经过这轮打磨，老王终于可以说：我的结论不再是猜测，而是一场深思熟虑的“虚拟随机实验”。从变量选择、倾向得分修剪、非参数拟合到成熟的软件实现，每一步都在提升结论的可信度。

AI 应用场景

Python 演示

import numpy as npfrom sklearn.linear_model import LogisticRegressionfrom sklearn.neighbors import NearestNeighbors def generate_data(n=600, seed=42):    rng = np.random.default_rng(seed)    age = rng.normal(40, 10, n)    income = rng.normal(8, 3, n)    X = np.c_[age, income]    p_score = 1 / (1 + np.exp(-(0.04 * age - 0.2 * income + 1.2)))    t = rng.binomial(1, p_score)    y0 = 50 + 0.5 * age + 0.3 * income + rng.normal(0, 5, n)    y1 = y0 + 1.5    y = np.where(t == 1, y1, y0)    return X, t, y def estimate_ps(X, t):    model = LogisticRegression(max_iter=1000)    model.fit(X, t)    return model.predict_proba(X)[:, 1] def ipw_ate(y, t, ps):    w = t / ps + (1 - t) / (1 - ps)    return np.average(y[t == 1], weights=w[t == 1]) - np.average(y[t == 0], weights=w[t == 0]) def psm_ate(X, t, y, caliper=0.05):    ps = estimate_ps(X, t)    treated = np.where(t == 1)[0]    control = np.where(t == 0)[0]    nn = NearestNeighbors(n_neighbors=1).fit(ps[control].reshape(-1, 1))    dist, idx = nn.kneighbors(ps[treated].reshape(-1, 1))    dist = dist.flatten()    idx = control[idx.flatten()]    mask = dist < caliper    matched_t = treated[mask]    matched_c = idx[mask]    print('匹配对数:', matched_t.size)    return y[matched_t].mean() - y[matched_c].mean() if __name__ == '__main__':    X, t, y = generate_data()    naive = y[t == 1].mean() - y[t == 0].mean()    ps = estimate_ps(X, t)    print('朴素差异:', naive)    print('IPW估计:', ipw_ate(y, t, ps))    print('PSM估计:', psm_ate(X, t, y))

1. def generate_data(n=600, seed=42):生成模拟数据：年龄和收入同时影响处理与否和结果，制造选择偏差。
2. p_score = 1 / (1 + np.exp(-(0.04 * age - 0.2 * income + 1.2)))用逻辑函数生成处理概率，让概率依赖于协变量。
3. model.fit(X, t)用 Logistic 回归估计每个个体的倾向得分。
4. w = t / ps + (1 - t) / (1 - ps)构造 IPW 权重：处理组取 1/e，对照组取 1/(1-e)。
5. nn.kneighbors(ps[treated].reshape(-1, 1))对每个处理组个体，在倾向得分轴上找最近的对照组。
6. mask = dist < caliper卡钳筛选：距离过大的匹配对被丢弃，避免“远房亲戚”硬配对。
7. naive = y[t == 1].mean() - y[t == 0].mean()朴素比较结果均值，通常会偏离真实效应。
8. print('IPW估计:', ipw_ate(y, t, ps))输出加权修正后的平均处理效应，更接近真实值。

常见误区

面试题