如果把一辆汽车在减速带上的颠簸过程拍成视频，你会看到一条上下晃动的曲线。这条曲线记录的是“每个瞬间车身多高”，数学家把它叫时域信号。可工程师真正关心的往往不是某个瞬间，而是整段颠簸由哪些频率和衰减组成。拉普拉斯变换就像给这段视频拍一张全景照片：照片上的每个点都在说“这个频率成分有多强”。拍完照片，原本要微积分的难题会变简单——求导在照片里只是乘以一个字母 s，积分只是除以 s，微分方程就成了代数方程。本文带你从“行车记录仪”走到“全景地图”：先认识变换定义和线性性质，再掌握把求导变乘法的微分定理，背下几张常用变换对，接着用逆变换、初值终值定理亲手解微分方程，最后看看控制工程中它是如何变成传递函数的。

岗位关联

拉普拉斯变换是控制、电路、信号处理从业者的基本功：它把动态系统建模从微积分降维成代数，让你能快速分析稳定性和响应。

目录
  1. 可视化演示
  2. 变换定义
  3. 线性性质
  4. 微分定理
  5. 常见变换对
  6. 逆变换方法
  7. 初值终值定理
  8. 微分方程求解
  9. 工程应用
  10. AI 应用场景
  11. Python 演示
  12. 常见误区
  13. 面试题

可视化演示

展示拉普拉斯变换将时域信号f(t)转换为复频域F(s)的过程，包含常见变换对与微分方程求解的映射关系。

本节配有交互动效（进入视口后自动加载，约 3KB）。

拉普拉斯变换 时域→频域：f(t)乘e^{-st}后积分得F(s) 衰减因子e^{-st}使发散信号收敛 极点位置决定系统稳定性 F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^{-st} dt 拉普拉斯变换将微分方程化为代数方程

变换定义

试车员小周的车碾过减速带，行车记录仪留下一条上下抖动的曲线。这条曲线非常直观，但它只回答“某一瞬间车身高多少”。如果小周想搞清楚悬挂系统整体的频率特征，就需要换一个视角：把整段录像拍成一张全景照片。这张照片不保留每个瞬间的先后顺序，而是把所有时刻的信息“压”进一个新坐标里。这个新坐标叫复频域，这个拍照动作就是拉普拉斯变换。

技术上说，拉普拉斯变换把一个时域函数 \(f(t)\) 变成复频域函数 \(F(s)\)。这里的 \(s=\sigma+j\omega\) 是一个复数：实数部分 \(\sigma\) 控制信号整体是增长还是衰减，虚数部分 \(\omega\) 控制振荡快慢。因为物理系统通常从 \(t=0\) 开始研究，所以工程上最常用单边拉普拉斯变换，积分从 \(0^{-}\) 开始，避免漏掉起始瞬间的冲激。

有了这张照片，后续处理就不再盯着“每个瞬间”，而是盯着“整个频域结构”。微分方程的复杂度，就这样被拍进了一张更容易操作的照片里。

F(s)=L{f(t)}=∫0−∞f(t)e−st dt\displaystyle F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0^{-}}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt
  1. \(f(t)\)被变换的时域信号，相当于行车记录仪里的原始视频。
    f(t)=随时间变化的曲线f(t)=\text{随时间变化的曲线}
  2. \(e^{-st}\)指数滤镜，\(s\) 里的实部决定镜头是放大还是缩小信号，虚部决定它如何旋转。
    e−st=e−(σ+jω)te^{-st}=e^{-(\sigma+j\omega)t}
  3. 积分从 \(0^{-}\) 一直扫描到无穷大，把每一个瞬间的贡献叠加起来，合成一张照片。
    ∫0−∞⋯ dt\int_{0^{-}}^{\infty}\cdots\,dt
  4. \(F(s)\)变换得到的复频域函数，也就是那张全景照片，里面藏着原信号的频率和衰减信息。
    F(s)=L{f(t)}F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}

线性性质

小周拍完照片后发现，录像里的车身位移其实由两部分组成：一是路面输入的颠簸，二是悬挂系统自己的晃动。若是分别录这两段视频再合成，照片是不是也能简单叠加？答案是能。这正是拉普拉斯变换的“线性性质”：先把每一段分别拍照，再把照片按同样比例叠加，效果等同于直接拍合成后的视频。

这个性质可以写成：信号按常数 \(a,b\) 组合，变换后的结果也按同样的常数组合。因为积分本身是线性运算，求和、缩放可以自由进出积分号。这样，复杂的输入信号就能拆成一串简单信号的组合，分别查表再相加，大大降低求解难度。

线性性质让工程师敢把复杂激励拆解成“单位阶跃、指数、正弦”这种标准件。后面只要记住几个常用变换对，就能像拼积木一样拼出复杂输入的照片。

L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)\displaystyle \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s)
  1. \(a f(t)+b g(t)\)输入信号是两段视频按比例混合，例如路面输入加车身回弹。
    af(t)+bg(t)a f(t)+b g(t)
  2. 积分线性积分符号可以拆开，常数直接提到积分外面，所以左右两边天然可分离。
    ∫(af+bg)e−st dt=a∫fe−st dt+b∫ge−st dt\int \left(a f+b g\right)e^{-st}\,dt=a\int fe^{-st}\,dt+b\int ge^{-st}\,dt
  3. \(aF(s)+bG(s)\)最终结果是两张照片按同样比例相加，输出结构一目了然。
    aL{f(t)}+bL{g(t)}a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}

微分定理

行车记录仪里的速度不能直接从画面看出，你必须逐帧求位移的变化率。到了全景照片上，这个求导动作突然变得极简：每求一次导数，照片只额外乘以一个 \(s\)，同时扣除起点留下的“海拔高度”。这就是微分定理，也是拉普拉斯变换能解微分方程的灵魂。

利用分部积分可以严格推导：对 \(f'(t)\) 做变换，积分出来的边界项恰好是 \(-f(0^{-})\)，剩余部分就是 \(sF(s)\)。反复套用，还能得到二阶、三阶甚至 \(n\) 阶导数的公式。若系统从零状态启动，初始条件都为 0，求导就直接变成乘 \(s^n\)。

有了这个定理，含导数、二阶导的方程在复频域里只剩下 \(s\) 的多项式。接下来要做的，就是把这张照片按代数规则整理好。

L{f′(t)}=sF(s)−f(0−),L{f′′(t)}=s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)\displaystyle \mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0^{-}),\qquad\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^{2}F(s)-s f(0^{-})-f'(0^{-})
  1. 一阶导数项求导一次就多一个 \(s\)，同时要减掉起点处的函数值 \(f(0^{-})\)。
    sF(s)−f(0−)sF(s)-f(0^{-})
  2. 二阶导数项求导两次出现 \(s^{2}\)，依次扣除 \(f(0^{-})\) 和 \(f'(0^{-})\)。
    s2F(s)−sf(0−)−f′(0−)s^{2}F(s)-s f(0^{-})-f'(0^{-})
  3. 初始条件\(f(0^{-})\) 和 \(f'(0^{-})\) 是系统在启动瞬间的状态，相当于地图上标注的出发点海拔。
    f(0−), f′(0−)f(0^{-}),\ f'(0^{-})
  4. 零初值简化若出发点海拔为零，求导公式只剩 \(s^{n}F(s)\)，微积分彻底退化成乘法。
    L{f(n)(t)}=snF(s)\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}F(s)

常见变换对

导航软件里会内置常用路段模板，一看到丁字路口就自动简化。拉普拉斯变换也有自己的“地图图例”：单位阶跃、指数函数、正弦、幂函数这些常见信号，都有现成的变换对。做题时不用每次重新积分，查表即可。

这些变换对都是从定义式直接积分得到的，本质上是一张“常用照片对照表”。比如单位阶跃 \(u(t)\) 相当于开关突然打开；指数函数 \(e^{at}\) 表示持续增长或衰减；正弦函数表示振荡；幂函数 \(t^{n}\) 表示斜坡或更高阶输入。

这些变换对必须像交通标志一样熟记。后面做逆变换时，绝大多数工作就是把复杂分式拆成这些图例，再逐项翻译回时域。

L{u(t)}=1s,L{eatu(t)}=1s−a,L{sin⁡(ωt)u(t)}=ωs2+ω2,L{tnu(t)}=n!sn+1.\displaystyle\begin{aligned}\mathcal{L}\{u(t)\} &= \frac{1}{s}, &\mathcal{L}\{e^{at}u(t)\} &= \frac{1}{s-a},\\\mathcal{L}\{\sin(\omega t)u(t)\} &= \frac{\omega}{s^2+\omega^2}, &\mathcal{L}\{t^{n}u(t)\} &= \frac{n!}{s^{n+1}}.\end{aligned}
  1. 单位阶跃 \(u(t)\)开关从 0 跳到 1，变换结果是 \(1/s\)。
    1s\frac{1}{s}
  2. 指数 \(e^{at}\)指数增长或衰减的基准模板，结果是把极点搬到 \(s=a\)。
    1s−a\frac{1}{s-a}
  3. 正弦 \(\sin(\omega t)\)固定频率振荡的结果，分母是 \(s^2+\omega^2\)，分子是频率 \(\omega\)。
    ωs2+ω2\frac{\omega}{s^2+\omega^2}
  4. 幂函数 \(t^{n}\)带阶乘 \(n!\)，分母是 \(s^{n+1}\)，适合处理斜坡信号。
    n!sn+1\frac{n!}{s^{n+1}}

逆变换方法

照片拍好之后，小周还要把照片翻译回行车录像，这个过程就是逆变换。逆变换的完整定义是一个复平面上的围线积分，工程中很少直接计算，更多是先把 \(F(s)\) 拆成若干“已知图例”的组合，再查表翻译。

最常用的拆法叫部分分式展开。如果 \(F(s)\) 是一个有理分式，先把分母因式分解，再把整个分式拆成若干简单分式之和。每个简单分式都能对应一个已知变换对，最后逐项叠加，就得到时域解。严格地说，留数法是部分分式在复平面上的统一数学解释，而唯一性保证只要你查表结果对，答案就只有一个。

逆变换像是把全景照片按颜色分成多个图层，再把每个图层翻译回录像，最后叠成完整视频。只要每一步查表正确，最终答案唯一且可靠。

x(t)=L−1{X(s)}=∑iAiepitu(t)\displaystyle x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}=\sum_{i} A_{i}e^{p_{i}t}u(t)
  1. \(X(s)\) 展开先把复杂分式分解成因式形式，例如拆成 \((s-p_1)(s-p_2)\cdots\)。
    X(s)=N(s)(s−p1)(s−p2)⋯X(s)=\frac{N(s)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots}
  2. 求系数 \(A_i\)对每个简单极点 \(p_i\) 求出部分分式系数，相当于给每张子图配好颜色。
    Ai=lim⁡s→pi(s−pi)X(s)A_{i}=\lim_{s\to p_i}(s-p_i)X(s)
  3. 逐项查表\(A_i/(s-p_i)\) 的逆变换是 \(A_i e^{p_i t}u(t)\)。
    L−1{Ais−pi}=Aiepitu(t)\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{A_i}{s-p_i}\right\}=A_i e^{p_i t}u(t)
  4. 求和叠加唯一性保证所有子项相加后就是原信号的时域表达。
    x(t)=∑iAiepitu(t)x(t)=\sum_{i} A_{i}e^{p_{i}t}u(t)

初值终值定理

小周拿到一张地图，不必开着车跑完整条路，也能从地图边缘直接读出起点和终点。拉普拉斯变换也提供这种“预览”：初值定理看 \(t=0^+\) 那一瞬间的起点，终值定理看 \(t\to\infty\) 的最终目的地。它们都只对 \(sF(s)\) 取极限，非常快速。

初值定理用 \(s\to\infty\) 提取出发点，终值定理用 \(s\to0\) 提取稳态终点。需要特别注意的是，终值定理并不是对任何信号都成立：如果系统最终持续振荡或发散，\(sF(s)\) 会有虚轴或右半平面的极点，这时“终点预览”就会失效。

这两个定理是控制工程师的“快速仪表盘”：不需要求逆变换，就能判断系统起点是否跳变、终点是否收敛。在分析稳态误差时，终值定理几乎是必用工具。

f(0+)=lim⁡s→∞sF(s),lim⁡t→∞f(t)=lim⁡s→0sF(s)\displaystyle f(0^{+})=\lim_{s\to\infty}sF(s),\qquad\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)
  1. \(sF(s)\)把变换结果先乘一个 \(s\)，相当于把“照片”换成“速度式预览图”。
    sF(s)sF(s)
  2. 初值定理让 \(s\to\infty\)，从高频端读出系统刚启动时的值 \(f(0^+)\)。
    f(0+)=lim⁡s→∞sF(s)f(0^{+})=\lim_{s\to\infty}sF(s)
  3. 终值定理让 \(s\to0\)，从低频端读出系统到达稳态后的值。
    lim⁡t→∞f(t)=lim⁡s→0sF(s)\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s)
  4. 适用条件终值定理要求 \(sF(s)\) 的极点都在左半开平面，否则不能套用。
    Re⁡(pi)<0\operatorname{Re}(p_i)<0

微分方程求解

现在把“行车录像”和“全景地图”真正接在一起。面对一个常系数线性微分方程，小周的做法是：先对等式两边同时做拉普拉斯变换，利用微分定理把导数换成 \(s\)，初始条件自动进入代数式；然后像解普通代数方程一样解出 \(Y(s)\)；最后做部分分式展开和逆变换，得到时域解。

对于方程 \(y''+3y'+2y=f(t)\)，两边变换后得到下面的代数关系。等号右边既有输入 \(F(s)\)，也有初始条件项，它们共同决定了系统的零状态响应和零输入响应。

比如取 \(f(t)=e^{-t}\)，初始条件 \(y(0)=1,\ y'(0)=0\)，可算出 \(Y(s)=(s+2)/(s+1)^2\)，展开后逆变换得到 \(y(t)=(e^{-t}+te^{-t})u(t)\)。一个原本要解微积分方程的难题，就这样被“拍照—代数—翻译”三步解决。

(s2+3s+2)Y(s)=F(s)+sy(0)+y′(0)+3y(0)\displaystyle (s^2+3s+2)Y(s)=F(s)+s y(0)+y'(0)+3y(0)
  1. 两边取变换对微分方程每一项做拉普拉斯变换，微分运算全部变成 \(s\) 的多项式。
    L{y′′}+3L{y′}+2L{y}=L{f(t)}\mathcal{L}\{y''\}+3\mathcal{L}\{y'\}+2\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{f(t)\}
  2. 代入微分定理用 \(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)\) 替换二阶导，用 \(sY(s)-y(0)\) 替换一阶导。
    s2Y(s)−sy(0)−y′(0)+3sY(s)−3y(0)+2Y(s)=F(s)s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)+3sY(s)-3y(0)+2Y(s)=F(s)
  3. 整理代数方程把所有 \(Y(s)\) 合并，初始条件和输入信号移到等号另一边。
    (s2+3s+2)Y(s)=F(s)+sy(0)+y′(0)+3y(0)(s^2+3s+2)Y(s)=F(s)+s y(0)+y'(0)+3y(0)
  4. 解出 \(Y(s)\)除以特征多项式 \(s^2+3s+2\)，再做部分分式展开。
    Y(s)=F(s)+sy(0)+y′(0)+3y(0)s2+3s+2Y(s)=\frac{F(s)+s y(0)+y'(0)+3y(0)}{s^2+3s+2}

工程应用

在控制工程中，工程师不会每次都对整个微分方程重新求变换，而是直接研究系统的“身份证”——传递函数。传递函数定义为系统输出 \(Y(s)\) 与输入 \(U(s)\) 之比，它描述了系统本身的固有特性，与具体输入无关。

电路分析也受益于同样思路：电感的复频域阻抗是 \(sL\)，电容的复频域阻抗是 \(1/(sC)\)。把电路画到复频域后，基尔霍夫定律就变成普通代数方程，瞬态响应、稳态响应都能统一求解。

拉普拉斯变换把“系统为什么震荡”“怎样才能稳定”这类问题，变成了看极点位置和阻尼比取值的代数问题。小周最终靠这张全景地图，快速完成了悬挂系统的参数调优。

H(s)=Y(s)U(s)=ωn2s2+2ζωns+ωn2\displaystyle H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}
  1. \(Y(s)/U(s)\)系统照片的“输入输出比例”，即传递函数。
    H(s)=Y(s)U(s)H(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}
  2. \(\omega_n^2\)自然频率的平方，决定系统固有振荡快慢。
    ωn2\omega_n^2
  3. \(\zeta\)阻尼比，决定系统是过阻尼、欠阻尼还是临界阻尼。
    2ζωns2\zeta\omega_n s
  4. 稳定性判断检查分母极点是否都在左半平面，若有极点跑到右半平面，系统就不稳定。
    Re⁡(pi)<0\operatorname{Re}(p_i)<0

AI 应用场景

自动驾驶车辆控制

阶段：模型部署与底层控制调优

解决的问题：AI 决策模块输出期望车速后，车辆本身的一阶惯性、延迟会让实际车速偏离目标。传统上需要反复调 PID 参数，若只看时域曲线，很难判断系统是否会发生超调或震荡。用拉普拉斯变换建立车辆纵向动力学传递函数，可以把控制问题变成极点配置问题，快速判断稳定性并整定参数。

具体案例：某自动驾驶团队发现车辆的油门响应有 0.2 秒延迟，导致巡航控制震荡。工程师把延迟后的整车模型写成传递函数，利用终值定理和根轨迹分析，重新整定 PID，最终让车速在 3 秒内平稳收敛。

电源与芯片供电电路分析

阶段：AI 硬件设计与供电仿真

解决的问题：AI 加速卡在推理任务突增时，电流会突然跳变，供电电压一旦跌落过低，芯片就会报错。传统电路分析要解很多微分方程，效率低。用拉普拉斯变换把电容、电感变成复频域阻抗，可以快速写出供电网络的传递函数，分析电压跌落和恢复时间。

具体案例：硬件团队在设计大模型推理服务器时，用拉普拉斯变换分析电源瞬态响应，发现输出电容偏小导致电压跌落超过 5%。通过加大电容并调整反馈网络，最终满足芯片的电压容限要求。

Python 演示

python14 行
import sympy as sp def main():    s, t = sp.symbols("s t")    y0, dy0 = 1, 0    rhs = 1 / (s + 1)    numerator = rhs + s * y0 + 3 * y0 + dy0    Y = sp.apart(numerator / (s**2 + 3 * s + 2), s)    yt = sp.inverse_laplace_transform(Y, s, t)    print("Y(s) =", Y)    print("y(t) =", sp.simplify(yt)) if __name__ == "__main__":    main()
目的：用 SymPy 符号计算完成拉普拉斯变换法求解微分方程，展示“代数化”和“部分分式”两个核心步骤。
  1. s, t = sp.symbols("s t")定义复频域变量 \(s\) 和时域变量 \(t\)，让计算机做符号运算。
  2. numerator = rhs + s * y0 + 3 * y0 + dy0把输入信号和初始条件一起放进代数方程分子。
  3. Y = sp.apart(numerator / (s**2 + 3 * s + 2), s)对解出的 \(Y(s)\) 做部分分式展开。
  4. yt = sp.inverse_laplace_transform(Y, s, t)用逆变换把照片翻译回时域，得到 \(y(t)\)。

常见误区

误区我看到 \(f'(t)\) 就写成 \(sF(s)\)，完全不用管初始条件，反正题目会给初值。

正解微分定理的正确形式是 \(sF(s)-f(0^{-})\)，初始条件必须保留。它就像一个登山起点海拔，求导变成乘法后，起点高度不会凭空消失。如果忽略 \(f(0)\)，解出的零输入响应就会缺失。

为何常见：因为零初始条件的题目太常见，简化形式用多了，就把“带初值”的完整公式忘了。

误区傅里叶变换和拉普拉斯变换差不多，反正都是把时域变频域，考试随便用。

正解傅里叶变换是 \(s=j\omega\) 的特例，只能处理收敛或能量有限的信号；拉普拉斯变换的 \(s=\sigma+j\omega\) 多了一个实部，能描述信号的衰减或增长，特别适合瞬态分析和稳定判据。

为何常见：两者图像上都是“频域谱”，初学者只看到相似形式，没注意到复频域多出的自由度。

误区不管信号是震荡还是发散，只要把 \(Y(s)\) 乘上 \(s\) 再令 \(s\to0\)，就能算出终值。

正解终值定理要求信号最终收敛，通常要求 \(sF(s)\) 的极点都在左半开平面。若信号像 \(\sin(\omega t)\) 那样持续振荡，或者像 \(e^{t}\) 那样发散，强行使用会得到错误答案。

为何常见：很多教材例题里的信号都收敛，学生通过反复刷题形成“直接取极限”的机械记忆，缺少对条件的检验。

误区如果分母出现 \(s^2+9\) 这种没实数根的多项式，部分分式就拆不动了，题目做不了。

正解共轭复根一样可以展开，只是结果会对应正弦和余弦项。比如 \(1/(s^2+\omega^2)\) 直接对应 \((1/\omega)\sin(\omega t)\)，并不需要拆成实数根。

为何常见：中学阶段处理的多是实数根，遇到复数根就下意识想“没法因式分解”，忽略了复根本身的物理含义。

面试题

Q1. 拉普拉斯变换把一个时域函数主要变换到哪个域？

单选题 · easy

  • A.复频域← 正确答案
  • B.时间域
  • C.空间域
  • D.概率域

答案：A。拉普拉斯变换把 \(f(t)\) 变成 \(F(s)\)，其中 \(s=\sigma+j\omega\)，所以是复频域。时间域是原始信号所在，空间域和概率域与此无关。

Q2. 单位阶跃函数 \(u(t)\) 的拉普拉斯变换是以下哪个？

单选题 · easy

  • A.\(1/s\)← 正确答案
  • B.\(1/(s-a)\)
  • C.\(s\)
  • D.\(1\)

答案：A。单位阶跃是 \(t>0\) 时恒为 1，代入定义积分得到 \(1/s\)。\(1/(s-a)\) 对应指数信号，\(s\) 和 \(1\) 都不正确。

Q3. 拉普拉斯变换中，一阶导数的变换公式是哪个？

单选题 · mid

  • A.\(sF(s)-f(0)\)← 正确答案
  • B.\(F(s)/s\)
  • C.\(F(s)+f(0)\)
  • D.\(sF(s)+f(0)\)

答案：A。微分定理说 \(\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0^{-})\)，初始条件以减法形式出现。积分对应除以 \(s\)，所以 B 是积分公式的痕迹，但导数必须是乘 \(s\) 并扣初值。

Q4. 根据线性性质，\(\mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\}\) 等于什么？

单选题 · easy

  • A.\(aF(s)+bG(s)\)← 正确答案
  • B.\(aF(s)-bG(s)\)
  • C.\(aF(s)G(s)\)
  • D.\(aF(s)/bG(s)\)

答案：A。拉普拉斯变换是线性运算，常数可以提出，多个信号相加等于各自变换后相加。乘法和除法不会在线性运算中凭空出现。

Q5. 下列逆变换结果中，正确的有哪些？

多选题 · mid

  • A.\(\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+3)\}=e^{-3t}u(t)\)← 正确答案
  • B.\(\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+3)\}=e^{3t}u(t)\)
  • C.\(\mathcal{L}^{-1}\{s/(s^2+9)\}=\cos(3t)u(t)\)← 正确答案
  • D.\(\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+9)\}=\sin(3t)u(t)\)← 正确答案

答案：ACD。\(1/(s+3)\) 的极点是 \(-3\)，所以对应 \(e^{-3t}\)。\(\cos\) 的变换是 \(s/(s^2+\omega^2)\)，\(\sin\) 的变换是 \(\omega/(s^2+\omega^2)\)。B 把极点符号弄反，因而是错的。

Q6. 用拉普拉斯变换解 \(y''+y=0\)，且 \(y(0)=1,\ y'(0)=0\)，则 \(Y(s)\) 是多少？

单选题 · mid

  • A.\(s/(s^2+1)\)← 正确答案
  • B.\(1/(s^2+1)\)
  • C.\(1/(s+1)\)
  • D.\(s+1\)

答案：A。对 \(y''+y=0\) 变换得到 \(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+Y(s)=0\)，代入初值得 \((s^2+1)Y(s)=s\)，因此 \(Y(s)=s/(s^2+1)\)。

Q7. 下列哪个信号可以用终值定理求稳态值？

单选题 · hard

  • A.\(\sin(3t)u(t)\)
  • B.\(e^{t}u(t)\)
  • C.\(e^{-2t}u(t)\)← 正确答案
  • D.\(t u(t)\)

答案：C。终值定理要求信号收敛且有稳定终点。\(\sin(3t)\) 持续振荡，\(e^t\) 发散，\(t\) 是斜坡也会发散，只有 \(e^{-2t}\) 指数衰减到 0，满足使用条件。

Q8. \(F(s)=1/[s(s+1)]\) 的逆变换是哪个？

单选题 · hard

  • A.\((1-e^{-t})u(t)\)← 正确答案
  • B.\((1+e^{-t})u(t)\)
  • C.\((1-e^{t})u(t)\)
  • D.\((1+e^{t})u(t)\)

答案：A。部分分式展开得 \(1/[s(s+1)]=1/s-1/(s+1)\)，查表得到常数 1 减去 \(e^{-t}\)，结果就是 \((1-e^{-t})u(t)\)。

Q9. 下列常见变换对中，正确的有哪些？

多选题 · mid

  • A.\(\mathcal{L}\{u(t)\}=1/s\)← 正确答案
  • B.\(\mathcal{L}\{e^{at}u(t)\}=1/(s-a)\)← 正确答案
  • C.\(\mathcal{L}\{\sin(\omega t)u(t)\}=\omega/(s^2+\omega^2)\)← 正确答案
  • D.\(\mathcal{L}\{\delta(t)\}=s\)

答案：ABC。A、B、C 都是标准变换对。冲激函数 \(\delta(t)\) 的拉普拉斯变换应该是 1，而不是 \(s\)。D 是初学者容易记反的陷阱。

Q10. 关于初值定理和终值定理，下列说法正确的有哪些？

多选题 · extreme

  • A.初值定理可直接得到 \(f(0^+)\)← 正确答案
  • B.终值定理要求 \(sF(s)\) 的极点都在左半开平面← 正确答案
  • C.等幅振荡信号不满足终值定理的条件← 正确答案
  • D.初值定理相当于先求积分再取极限

答案：ABC。初值定理读出的是右极限 \(f(0^+)\)；终值定理确实要求极点位于左半开平面，等幅振荡不收敛，不能使用。D 是错误的机械描述，初值定理是对 \(sF(s)\) 取极限，不是“先求积分再取极限”。