想象你跟一位武术师父学一套“推山掌”。师父完整打了一遍，你拿手机录了视频。可光有视频没用——换一个场地，对手站位不同，或者出掌目标从左边变成右边，那串“像素级”的录像就僵住了。真正的功夫，不是背下每一帧画格，而是记住一套“心法”：怎么起势、怎么发力、怎么收住。DMP（Dynamic Movement Primitives，动态运动基元）就是给机器人写的“心法口诀”。它不存轨迹本身，而是把动作拆成三个合作伙伴：一个从1衰减到0的“节拍器”，一个保证最后精准到目标的“弹簧振子”，以及一堆记录师父个人习惯的“发力小铃铛”。只要有心法在手，哪怕目标换了、速度变了、场地歪了，机器人照样能打出一套形不似而神似的好拳。

岗位关联

掌握 DMP，等于掌握机器人学习动作的“通用语言”：既能从示教中提取特征，又能一键泛化到新任务，是模仿学习、机器人技能复用、人机协作方向的核心基本功。

目录
  1. 可视化演示
  2. DMP 灵魂心法
  3. 双时钟建模
  4. 强迫项基函数
  5. LWR 参数学习
  6. 目标泛化能力
  7. 节律与避障
  8. 工程落地调参
  9. AI 应用场景
  10. Python 演示
  11. 常见误区
  12. 面试题

可视化演示

可视化展示DMP轨迹生成、吸引子动力学收敛与示教学习泛化过程，交互调节参数体验动态运动基元的运动生成能力。

本节配有交互动效（进入视口后自动加载，约 3KB）。

DMP轨迹生成过程 动态系统从起点平滑收敛到目标点生成轨迹 强迫函数塑造轨迹形状实现灵活运动 dζ/dt = α_z(β(g-y)-ζ) 二阶动态系统生成平滑轨迹

DMP 灵魂心法

录像的问题是：它把时间钉死在每一帧上。三秒打完的拳，换成一秒，人的动作就显得完全不对；靶子从左边移到右边，录像就彻底失效。DMP 的理念是：不要记录“每一帧长什么样”，而是记录“每一步怎么去”。师父打拳时，身体里有三种力量在协作：一个内部节拍器告诉你现在到哪一步；一组肌肉弹簧让拳头无论如何都能收在目标上；还有一堆源自习惯的小动作，让拳风带弧、有韵味。

DMP 把这三者写进一个二阶微分方程，让轨迹不再是一串离散点，而是一个由动力学决定的连续函数。机器人在执行时，每一次控制循环都根据当前状态计算下一步该往哪走，而不是照着查表找点。这样做的好处是：即使中途目标变了、速度变了、甚至受到意外扰动，机器人也不会崩掉，因为物理规律会把它重新拉回来。

核心方程长这样：

录像会过时，心法不会。DMP 把师父的招式变成一套“规则”，机器人拿到规则后，无论舞台怎么变，都能临场发挥。这也是为什么模仿学习领域把 DMP 当作动作编码的“母语”。

τq¨=αq(βq(g−q)−τq˙)+f(s)\displaystyle \tau \ddot{q} = \alpha_q \left( \beta_q (g - q) - \tau \dot{q} \right) + f(s)
公式通俗理解：左边是“加速度”，右边第一块弹簧把状态拉向目标，第二块阻尼把震荡按住，最后一块是师父的个人习惯力，让轨迹既稳又有风格。
  1. 时间尺度\tau 决定整段动作被压缩还是拉伸，相当于把同一套拳用二倍速或慢放播放，而动作结构不变。
    τ\tau
  2. 位置误差的牵引力\beta_q (g - q) 是弹簧力，状态离目标越远，牵引越大，保证最终能到达目标。
    βq(g−q)\beta_q (g - q)
  3. 速度阻尼- \tau \dot{q} 是阻尼项，抑制震荡，避免控制系统越拉越跑方向，最后顺畅停在目标点。
    −τq˙- \tau \dot{q}
  4. 风格塑造力f(s) 是强迫项，由相位 s 驱动，负责在基础弹簧轨迹上叠加师父特有的动作弧线，是 DMP 的灵魂。
    f(s)f(s)

双时钟建模

师父常说：“先听锣鼓，再动身子。”DMP 也有两套时钟接力工作。第一套是“节拍器”，叫规范系统（canonical system），它唯一的工作是输出一个从 1 均匀衰减到 0 的相位变量 s。第二套是“身体系统”，叫变换系统（transformation system），它接收节拍，驱动关节位置 q 和速度 z 的变化。两个系统分工明确：一个负责“现在打到第几段”，一个负责“这一下到底怎么发”。

规范系统的数学特别简单，是一个一阶衰减：

变换系统则由两个方程组成，一个是速度变量 z 的演化，另一个是位置随时间的更新：

这就像音乐会里，定音鼓手只负责数拍子，弦乐手负责奏旋律，两者各司其职又严格同步。规范系统让 DMP 天然拥有时间上的“时标不变性”，不管多快多慢，动作的节奏感都保持连贯。

τs˙=−αss\displaystyle \tau \dot{s} = - \alpha_s s
τz˙=αq(βq(g−q)−z)+f(s),τq˙=z\displaystyle \tau \dot{z} = \alpha_q \left( \beta_q (g - q) - z \right) + f(s), \quad \tau \dot{q} = z
公式通俗理解：节拍器不管动作好不好看，只负责慢慢走向 0；身体系统看着节拍器，一边受弹簧约束冲向目标，一边被强迫项塑形，走出神韵。
  1. 相位节拍器s 从 1 出发指数衰减到 0，衰减速度由 \alpha_s 控制，相当于演出倒计时，时间越往后越接近“尾声”。
    τs˙=−αss\tau \dot{s} = - \alpha_s s
  2. 中间速度变量z 是广义速度，先把弹簧和强迫项算成力的效果，再通过积分变成位置变化，让运动轨迹平滑连续。
    z=τq˙z = \tau \dot{q}
  3. 弹簧-阻尼模型\alpha_q ( \beta_q (g - q) - z ) 把“当前位置与目标之差”转成加速度，相当于弹簧加阻尼，保证不震荡、不飞出去。
    αq(βq(g−q)−z)\alpha_q \left( \beta_q (g - q) - z \right)
  4. 两个时钟的耦合变换系统里出现的 s 强迫项，让身体动作严格跟着节拍走，节拍走到零，动作也刚好完成。
    f(s)f(s)

强迫项基函数

师父的“小习惯”不是一条平滑曲线那么简单，它是由许多个局部发力点组成的。比如出掌中途会有一个短暂的抖腕，收势前会有一次轻轻的回带——这些细节各自发生在特定的时间节奏上。DMP 用高斯基函数来模拟这些“局部发力点”：每个基函数像一个小铃铛，只在它对应的相位附近响，别的时候不打扰。

所有铃铛的加权和，再除以铃铛声叠加的总响度，就形成了强迫项：

这套设计很妙：师父的习惯只在特定的节拍点上“借力”，等动作接近尾声，所有铃铛自动哑火，剩下的弹簧系统稳稳地把手收到目标处。所以 DMP 生成的轨迹结束后不会乱颤。

f(s)=∑i=1Nψi(s)wi∑i=1Nψi(s) s,ψi(s)=e−hi(s−ci)2\displaystyle f(s) = \frac{\sum_{i=1}^{N} \psi_i(s) w_i}{\sum_{i=1}^{N} \psi_i(s)} \, s, \qquad \psi_i(s) = e^{-h_i (s - c_i)^2}
公式通俗理解：每个小铃铛有自己的“响度” w_i 和“位置” c_i；所有铃铛同时响，谁在节拍点上谁的声音大，最后合成一句完整的“风格唱腔”。
  1. 高斯局部响应\psi_i(s) 只在中心 c_i 附近有明显值，离中心越远越趋近于 0，对应“这个动作私藏在小节拍片段”。
    ψi(s)=e−hi(s−ci)2\psi_i(s) = e^{-h_i (s - c_i)^2}
  2. 加权与归一化分子把所有基函数按权重叠加，分母做归一化，让输出不受基函数数量影响，变成平滑的加权平均。
    ∑iψi(s)wi∑iψi(s)\frac{\sum_i \psi_i(s) w_i}{\sum_i \psi_i(s)}
  3. 相位收缩因子外层的 s 保证强迫项随动作收尾趋近于 0，否则拳到最后还在“抖腕”，会停不稳。
    ss
  4. 基函数形状参数h_i 控制铃铛的宽窄，c_i 控制铃铛出现的相位时刻；一宽一窄，动作的“笔画”就有粗有细。
    hi,  cih_i, \; c_i

LWR 参数学习

想学会师父的发力点，最快的方法就是看师父完整打一遍，然后记住每个节拍点应该出多少力。机器人的“看”是采集演示轨迹：位置、速度、加速度随时间的变化。接下来要做的是“反推”出强迫项在每一个相位时刻应该长什么样，再反解出每个基函数的权重。

这个反解用的是局部加权回归（LWR），它让每个基函数只负责自己附近的相位数据，互不干扰，每个权重都有闭式解：

LWR 的计算非常快，不需要梯度下降、不需要神经网络，一次矩阵运算就能学完。这也让 DMP 特别适合“一次示教、立刻部署”的工业场景，老师傅演示一遍，机械臂马上学会。

wi=∑tψi(st) ftarget(st)∑tψi(st)\displaystyle w_i = \frac{\sum_t \psi_i(s_t)\, f_{\text{target}}(s_t)}{\sum_t \psi_i(s_t)}
公式通俗理解：把所有属于某个“节拍点”附近的目标发力值做加权平均，权重就是对应铃铛的响度，算出的平均值就是该铃铛的音量。
  1. 目标强迫项从演示数据反推需要的总发力，公式是 \tau^2 \ddot{q}_{demo} - \alpha_q ( \beta_q (g - q_{demo}) - \tau \dot{q}_{demo})。
    ftarget=τ2q¨demo−αq(βq(g−qdemo)−τq˙demo)f_{\text{target}} = \tau^2 \ddot{q}_{demo} - \alpha_q \left( \beta_q (g - q_{demo}) - \tau \dot{q}_{demo} \right)
  2. 局部加权分子\psi_i(s_t) f_{\text{target}}(s_t) 表示只在第 i 个铃铛响的时候采集发力数据，别处的声音不干扰这个铃铛的音量。
    ∑tψi(st)ftarget(st)\sum_t \psi_i(s_t) f_{\text{target}}(s_t)
  3. 归一化分母除以所有响度之和，是把采样密度带来的偏差消掉，让每个采样时刻的贡献被均衡化。
    ∑tψi(st)\sum_t \psi_i(s_t)
  4. 权重意义w_i 就是第 i 个基函数的发力大小，学完后整段演示的“神韵”就被压缩进了这几个权重里。
    wiw_i

目标泛化能力

掌握心法后，师父让你换个方向出掌，靶子从左边移到右边。你不需要重新学一遍拳，只需要把“目标”从 g 改成 g_{\text{new}}，弹簧系统自然会把轨迹引向新目标，而师父那些发力小铃铛一个都不用改。这正是 DMP 被称为“运动基元”的原因：形状与目标解耦，目标变了，神韵还在。

新目标下，变换系统变成：

这种能力是“硬编码轨迹”永远给不了的：换目标必须重新录演示，而 DMP 一条基元就能覆盖一条轨迹带。机械臂分拣、避障绕行、人机协作中的动态调整，全靠这个特性。

τz˙=αq(βq(gnew−q)−z)+f(s)\displaystyle \tau \dot{z} = \alpha_q \left( \beta_q (g_{\text{new}} - q) - z \right) + f(s)
公式通俗理解：把拳谱里的“打击点”换成新的坐标，其他音律、节奏、发力风格全部保留，轨道整体跟着目标平移、变形。
  1. 目标参数替换原本方程里的 g 换成 g_{\text{new}}，强迫项权重不变，所以动作风格保持不变。
    gnewg_{\text{new}}
  2. 目标牵引再分配弹簧力方向的改变会把整个积分轨迹的“流场”重新拉伸，机器人自动走出一条绕到新目标的新曲线。
    βq(gnew−q)\beta_q (g_{\text{new}} - q)
  3. 时间缩放与形状解耦改变 \tau 只影响动作快慢，不影响目标牵引与强迫项的相对关系，因此节奏变了，动作形状骨架不变。
    τz˙,  τq˙\tau \dot{z}, \; \tau \dot{q}
  4. 收敛性质保持当 q 接近 g_{\text{new}}，弹簧力趋近于 0，强迫项也因 s \to 0 而消失，系统天然收敛到新目标。
    q→gnewq \to g_{\text{new}}

节律与避障

单招练完了，接着练连续套路。离散 DMP 的节拍器从 1 衰减到 0，只适合“打一拳、停一下”。但走路、游泳、划桨是无限循环动作，需要把节拍器改成循环报数的闹钟，让相位永远在 0 和 1 之间打转，这就是节律 DMP。此外，真正上场时总会有障碍物，DMP 可以在变换系统上叠加一个“势场排斥项”，让轨迹临时绕开障碍，再回到原计划。

节律 DMP 与避障调制的组合可以写成：

这一扩展让 DMP 从“单招生成器”升级为“套招引擎”。多段 DMP 还可以像积木一样拼接，先做一次下蹲，再做一个出拳，中间用接力相位串联，构成了机器人的完整行为库。

τs˙=1,τz˙=αq(βq(m−q)−z)+frhythm(s)−κq−o∥q−o∥3\displaystyle \tau \dot{s} = 1, \qquad \tau \dot{z} = \alpha_q \left( \beta_q (m - q) - z \right) + f_{\text{rhythm}}(s) - \kappa \frac{q - o}{\|q - o\|^3}
公式通俗理解：节拍器变成由 1 数到 0 再归 1 的循环，同时靠近障碍物 o 时，一个“看不见的斥力”把轨迹推开，绕过障碍后再回归正轨。
  1. 周期相位\tau \dot{s} = 1 表示相位匀速前进，配合周期基函数就能生成循环往复的节律运动。
    τs˙=1\tau \dot{s} = 1
  2. 周期参考轨迹m 是周期运动的中线或参考点，通常是振荡中心，弹簧项围绕它来回收缩。
    βq(m−q)\beta_q (m - q)
  3. 节律强迫项f_{\text{rhythm}}(s) 用周期化基函数构建，同一个相位点循环出现时产生完全相同的发力。
    frhythm(s)f_{\text{rhythm}}(s)
  4. 斥力调制- \kappa (q - o) / \|q - o\|^3 在离障碍越近时越强，把轨迹弹开；\kappa 决定多“怕”障碍。
    −κq−o∥q−o∥3- \kappa \frac{q - o}{\|q - o\|^3}

工程落地调参

再好的心法也需要排练。实际部署 DMP 时，最常遇到的问题不是“学不会”，而是“学过了头”或者“表达不出来”。基函数太少，师父的细节表现不出来；基函数太多，演示时手臂抖动的噪声也被当成风格学进去。所以工程调参是一门平衡术。

评估 DMP 复现好坏，最简单实用的指标是跟踪误差：

工程上还有一个经验值：基函数数量通常选 10~20 个，带宽与相邻基函数中心距接近。先快速演示，看 RMSE 是否达标，再观察轨迹抖动情况，最后在真实设备上做安全限幅。调好一次，这套心法就能复制到无数台机器上。

RMSE=1T∑t=1T∥qt−qt∗∥2\displaystyle \mathrm{RMSE} = \sqrt{ \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} \left\| q_t - q_t^* \right\|^2 }
公式通俗理解：把机器人生成的轨迹和演示轨迹逐帧比较，算平均偏差；偏差越小，说明“心法传得越像”。
  1. 逐帧误差q_t - q_t^* 是同一时刻机器人位置与演示位置的差值，对所有时刻求平方和。
    ∥qt−qt∗∥2\left\| q_t - q_t^* \right\|^2
  2. 平均化除以总时长 T，防止采样多寡影响误差量级，得到“平均帧偏差”。
    1T∑t=1T\frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T}
  3. 开方还原开根号让单位回到长度量纲，方便和实际位置误差做直观比较，类似“平均偏离几厘米”。
      ⋅  \sqrt{\; \cdot \;}
  4. 调参导向RMSE 太大时优先检查基函数数量与带宽；RMSE 很小时，再结合轨迹平滑度判断是否过拟合。
    RMSE\mathrm{RMSE}

AI 应用场景

工业分拣机械臂轨迹复用

阶段：模仿学习 / 示教编程

解决的问题：传统示教器编程需要工程师逐点手动移动机械臂，遇到传送带物品位置变化就得重新示教。DMP 允许工人直接拉着机械臂演示一次抓取动作，算法把动作学成运动基元，之后目标位置变化时只要改一个目标参数，轨迹自动泛化。

具体案例：某汽车零部件产线上，机械臂需要从托盘抓取小零件放上装配线。工程师带动机械臂演示三种摆放角度的抓取轨迹，DMP 学习后，摄像机实时识别零件偏移量，对应设置 g_new，机械臂即使面对数十种倾斜角度，也能保持同样稳定的抓取姿态。

双足机器人的节律步行控制

阶段：运动控制 / 技能生成

解决的问题：双足机器人需要无休止地重复迈步，离散 DMP 无法胜任。节律 DMP 把相位改成周期性循环，学习人类步态的摇摆曲线，再叠加避障调制项，机器人就能在不平地面或遇到障碍时自然调整步幅。

具体案例：某高校实验室采集了人在跑步机上行走的运动数据，用节律 DMP 编码髋关节和膝关节的角度振荡。当机器人准备踩上低矮台阶时，新增的斥力调制让膝盖多抬 3 厘米，越障后步态平滑恢复，体感几乎与人无异。

康复外骨骼的柔顺辅助

阶段：人机交互 / 柔顺控制

解决的问题：康复训练需要机器人既懂标准动作，又懂得照顾患者差异。DMP 与柔顺控制结合，从治疗师演示中学习理想运动轨迹，同时根据患者的发力反馈实时微调目标点，让机器在人机协作中既不生硬也不伤到人。

具体案例：上肢康复外骨骼中，治疗师带着患者手臂缓慢画一次喝水动作，DMP 完成学习。患者在机器人助力下重复练习时，传感器检测到手臂力量不足，目标点自动向身体内侧偏移，始终保证动作在安全范围内完成。

Python 演示

python64 行
import numpy as np  class DiscreteDMP:    """极简一维 DMP：学习一段演示轨迹，并泛化到新目标。"""     def __init__(self, n_basis=10, alpha_s=25.0, alpha_q=25.0, beta_q=6.25):        self.n = n_basis        self.a_s = alpha_s        self.a_q = alpha_q        self.b_q = beta_q        self.centers = np.linspace(0.0, 1.0, n_basis)        self.widths = np.full(n_basis, 10.0)        self.w = np.zeros(n_basis)        self.q0 = 0.0     def _basis(self, s):        return np.exp(-self.widths * (s - self.centers) ** 2)     def _force(self, s):        psi = self._basis(s)        return (np.dot(psi, self.w) / (np.sum(psi) + 1e-10)) * s     def learn(self, q_demo, dt):        T = len(q_demo)        tau = T * dt        qd = np.gradient(q_demo, dt)        qdd = np.gradient(qd, dt)        t = np.arange(T) * dt / tau        s = np.exp(-self.a_s * t)        g0 = q_demo[-1]        f_target = tau * tau * qdd - self.a_q * (self.b_q * (g0 - q_demo) - tau * qd)        psi = self._basis(s)        self.w = (psi.T @ f_target) / (np.sum(psi, axis=0) + 1e-10)        self.q0 = q_demo[0]     def plan(self, g_new, tau=1.0, dt=0.01, T=200):        s = 1.0        z = 0.0        q = self.q0        qs = [q]        for _ in range(T):            dz = (self.a_q * (self.b_q * (g_new - q) - z) + self._force(s)) / tau * dt            dq = z / tau * dt            z += dz            q += dq            s += -self.a_s * s / tau * dt            qs.append(q)        return np.array(qs)  def main():    dt = 0.01    t = np.arange(0, 1.0, dt)    demo = 0.3 + 0.5 * np.tanh((t - 0.5) / 0.1)    dmp = DiscreteDMP()    dmp.learn(demo, dt)    traj_new = dmp.plan(g_new=1.5, dt=dt)    print("新目标轨迹起始点:", traj_new[0])    print("新目标轨迹结束点:", traj_new[-1])  if __name__ == "__main__":    main()
目的：演示从一段 S 形演示轨迹中学习 DMP 权重，并将同一基元泛化到目标值 1.5，验证“换目标不换风格”。
  1. self.w = np.zeros(n_basis)初始化基函数权重，相当于把所有“发力小铃铛”先设为静音。
  2. t = np.arange(T) * dt / tau构造归一化时间轴，把真实时间换成内部节拍，保证学习不受演示时长影响。
  3. f_target = tau * tau * qdd - self.a_q * (...)从演示数据反推目标强迫项，挖出师父发力细节。
  4. psi = self._basis(s)计算每个高斯基函数在相位点上的响应，让每个铃铛只认自己的节拍。
  5. self.w = (psi.T @ f_target) / (np.sum(psi, axis=0) + 1e-10)局部加权回归闭式解，一步算完所有权重。
  6. self.q0 = q_demo[0]记录起点，推理时从演示起点出发，保持动作的起手式。
  7. dz = (self.a_q * (self.b_q * (g_new - q) - z) + self._force(s)) / tau * dt对变换系统做欧拉积分，弹簧与强迫项共同决定下一时刻速度。
  8. s += -self.a_s * s / tau * dt相位按一阶系统衰减到 0，节拍器走完，动作自然收住。

常见误区

误区DMP 本质上是把演示轨迹用函数曲线拟合出来，那我直接用多项式或者样条拟合不就成了？何必整一套微分方程？

正解DMP 不是对轨迹的静态拟合，而是一个闭环动力学系统。它把“轨迹形状”编码在强迫项里，把“任务目标”编码在弹簧项里。遇到临时扰动或中途改目标，DMP 能在线重新规划，而多项式拟合只能输出一条固定曲线，改一个点就要重新整条拟合。

为何常见：因为大家刚接触时最容易先画轨迹图，看到曲线相似就误以为是在做函数逼近，忽略了背后的控制闭环属性。

误区我多放一些高斯基函数，总能更精确地逼近演示轨迹吧？设它个 50 个，总比 10 个强。

正解基函数增加会带来两个问题：过拟合演示中的传感器噪声；相邻基函数重叠加剧，导致权重解不稳定，轨迹出现高频抖动。通常 10~20 个基函数就足够描述常见动作，真正该调的是中心分布和宽度，而不是拼命堆数量。

为何常见：受神经网络“参数越多拟合越强”的思维影响，容易忽略 DMP 是低维运动基元，追求稀疏表达才是它的设计初衷。

误区机器人要换个方向抓东西，应该重新让师傅演示一遍，或者把原轨迹坐标平移。

正解DMP 的最大威力是“形状”与“目标”解耦。学习阶段只需一次演示，把风格压缩进权重；推理阶段更换 g 值即可，强迫项和基函数权重完全不用变。简单平移在二维场景看似可行，一旦目标远近、高度同时变化，平移就会破坏动作结构，DMP 则能保持完整动力学特性。

为何常见：接触示教轨迹时，头脑中自然把动作看成坐标系里的几何形状，忽略了 DMP 是面向任务的动力学模型。

误区DMP 是从起点走到目标点然后停下来，像走路这种循环动作应该用别的算法。

正解离散 DMP 确实面向点到点运动，但同样框架下改造规范系统为周期相位，就得到节律 DMP，可以稳定生成行走、游泳、划桨等循环运动。它的基函数和权重学习逻辑完全一致，只是相位 s 不再衰减到 0，而是周期性回到初始值。

为何常见：大多数 DMP 教程用“抓取”“挥臂”举例，确实都是单次动作，容易忽略扩展类型。

面试题

Q1. DMP 中规范系统的核心作用是什么？

单选题 · easy

  • A.提供随时间衰减的相位信号← 正确答案
  • B.直接计算关节力矩输出
  • C.代替传感器采集数据
  • D.保存整套演示轨迹

答案：A。规范系统输出相位变量 s，从 1 衰减到 0，负责给变换系统“打节拍”。它不是控制器、不是传感器、更不存储轨迹，所以只能选 A。

Q2. 变换系统在结构上最接近以下哪种物理模型？

单选题 · easy

  • A.电磁铁吸合模型
  • B.弹簧-阻尼质量系统← 正确答案
  • C.流体湍流模型
  • D.刚体碰撞模型

答案：B。变换系统中的 \beta_q (g - q) 是弹簧力，- \tau \dot{q} 是阻尼力，两者叠加产生平滑收敛行为，本质就是弹簧-阻尼质量系统。其他模型不包含目标牵引和振动抑制。

Q3. 强迫项 f(s) 外层乘一个相位变量 s，主要目的是什么？

单选题 · mid

  • A.加快收敛速度
  • B.增加基函数数量
  • C.保证末端力消失← 正确答案
  • D.让目标点移动

答案：C。当相位 s 趋近于 0 时，强迫项整体归零，确保动作收尾时由纯弹簧-阻尼系统完成稳定收敛，不会在目标点附近出现残抖。它与速度、基函数数量、目标位置均无关。

Q4. 学习 DMP 基函数权重时最常用的是哪种方法？

单选题 · mid

  • A.遗传算法
  • B.反向传播
  • C.蒙特卡洛采样
  • D.局部加权回归← 正确答案

答案：D。DMP 的权重对每个基函数来说是闭式解，用局部加权回归（LWR）按高斯响应加权平均即可，速度极快。深度学习式反向传播不是必需，遗传和采样更是低效。

Q5. 时间缩放参数 \tau 增大后，动作会发生什么变化？

单选题 · mid

  • A.动作整体变慢← 正确答案
  • B.动作整体变快
  • C.动作目标点改变
  • D.动作形状完全改变

答案：A。\tau 把真实的物理时间和相位节拍做尺度换算，\tau 越大，同样的相位变化对应延续更长时间，所以动作变慢。形状和目标由权重和 g 决定，不受 \tau 影响。

Q6. 换一个距离原目标很远的新目标时，DMP 依然能泛化，根本原因是什么？

单选题 · hard

  • A.物理系统必须立即重建
  • B.变换系统含目标吸引子项← 正确答案
  • C.重新初始化所有权重
  • D.相位衰减速度自动改变

答案：B。变换系统里 \beta_q (g - q) 是随着当前位置与目标之差动态变化的目标吸引子。只要目标项存在，任何位置都会被平滑拉向新目标，不需要重学权重或改变相位。

Q7. 下列哪些属于 DMP 的泛化能力表现？

多选题 · mid

  • A.目标点从左边改到右边← 正确答案
  • B.动作整体变快或变慢← 正确答案
  • C.重新采集一组演示数据
  • D.起始点不变但轨迹尺度变化← 正确答案

答案：ABD。DMP 允许换目标、调速度、改尺度，都只需修改 g、\tau 和初始条件，强迫项权重不变。重新采集演示数据属于重新学习，不是泛化。

Q8. 节律 DMP 与离散 DMP 最本质的区别是什么？

单选题 · easy

  • A.节律 DMP 不需要微分方程
  • B.节律 DMP 相位周期循环不衰减← 正确答案
  • C.节律 DMP 不能生成圆弧轨迹
  • D.节律 DMP 只能用于双足机器人

答案：B。离散 DMP 相位 s 单调衰减到 0，节律 DMP 则让相位循环往返，从而产生周期性运动。两者同样用微分方程和基函数，也适合各种机器人平台。

Q9. 在 DMP 中引入避障调制项的常见做法有哪些？

多选题 · hard

  • A.在加速度上叠加势场排斥项← 正确答案
  • B.把相位信号强制归零
  • C.将障碍位置引入变换系统← 正确答案
  • D.删除全部强迫项权重

答案：AC。避障调制通常在变换系统右侧加速度方程中叠加斥力势场项，障碍物位置 o 作为一个新输入进入系统动力学。归零相位和删除权重都会破坏原始动作，不可取。

Q10. 基函数宽度过大时，对 DMP 学习效果最直接的影响是什么？

单选题 · extreme

  • A.局部细节被过度平均← 正确答案
  • B.收敛速度反而变快
  • C.权重学习变成确定性
  • D.目标点自动偏移

答案：A。宽度过大导致每个基函数影响范围过宽，多个铃铛同时含糊地响应一个节拍，局部发力细节被互相平均掉，轨迹显得“绵软无力”。收敛速度、确定性和目标点都不会因此改变。