想象你搬进了一座崭新的城市，这里没有地图，但热心市民会这样给你指路：“先沿南北大道往北走 3 个街区，再沿东西大道往东走 2 个街区。”无论你想去这座城市的哪个角落，只要报出两个数字——南北走几步、东西走几步——就一定能抵达。为什么两个数字就够了？因为这座城市只需要两个互不替代的方向，就能描述所有地点。把这座抽象的城市换成数学语言：向量空间就是城市本身，基就是那套最精简的“主干道系统”，而维度告诉你——描述任意一个地点，最少需要几个数字。从平面到立体，再到机器学习里动辄成千上万维的数据，基与维度构成了理解一切向量世界的通用骨架。

岗位关联

理解基与维度，是理解机器学习中特征空间、数据降维与坐标变换的基石。AI 从业者每天都在与高维数据打交道，掌握这套“空间的骨架语言”，才能在建模、调参与模型解读中游刃有余。

目录
  1. 可视化演示
  2. 基的定义
  3. 基的性质
  4. 维度的概念
  5. 维数定理
  6. 坐标变换
  7. 空间实例
  8. AI 应用场景
  9. Python 演示
  10. 常见误区
  11. 面试题

可视化演示

展示系统处理流水线、实时性能指标曲线及多方案对比分析，包含数据流转、吞吐延迟监控与方案评估。

本节配有交互动效（进入视口后自动加载，约 3KB）。

系统可视化 处理流程：输入→处理→模型→输出 性能监控：实时指标 P=L×T

基的定义

初到这座城市，热心市民给你指路只用两条主干道：“南北大道”与“东西大道”。无论目的地多偏僻，报出两个数字就能到达。这套路网有一个关键特征：两条主干道方向互相独立，谁也不是谁“走出来的”；同时全城每一处都能用它们的组合抵达。这样一组“最省又够用”的方向，就是路网系统的骨架。

数学里，把这座“城市”称为向量空间，把“主干道方向”抽象为向量。一组向量要当“骨架”，先要能覆盖全城——任意向量都能写成它们的线性组合，这叫张成空间；同时彼此不能冗余——任何一个都不能由其余组合出来，这叫线性无关。

同时满足“张成整个空间”与“线性无关”的向量组，就是向量空间的基。以平面 R² 为例，标准基 e₁=(1,0)、e₂=(0,1) 是最常见的骨架；而旋转 45° 后的两个向量同样成立。基不是唯一的，但每组基都精确地撑起整个空间。

回到城市：路网系统不仅要“哪儿都能到”，还得“每个方向都不可替代”。少了任何一条主干道，总有些角落再也到不了；多出一条能被替代的冗余路，又谈不上精简。这套“够用且不浪费”的骨架，就是平面乃至高维向量空间的基。

span⁡{v1,…,vn}=V,∑i=1ncivi=0⇒c1=⋯=cn=0\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}=V, \qquad \sum_{i=1}^{n}c_i\mathbf{v}_i=\mathbf{0} \Rightarrow c_1=\cdots=c_n=0
上式是“基”的两条资格认证：左边保证方向组合能覆盖全城每一点；右边保证没有冗余方向。
  1. 张成全空间span 表示所有线性组合构成的集合，等式说明每个向量都能由这组方向表示。
    span⁡{v1,…,vn}={c1v1+⋯+cnvn∣ci∈R}=V\operatorname{span}\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}=\{c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n \mid c_i \in \mathbb{R}\}=V
  2. 线性无关只有系数全为零时组合才为零向量，说明删去任何一个方向都会漏掉某些地点。
    ∑i=1ncivi=0⇒c1=⋯=cn=0\sum_{i=1}^{n}c_i\mathbf{v}_i=\mathbf{0}\Rightarrow c_1=\cdots=c_n=0
  3. 双条件缺一不可只张成可能冗余，只无关则可能不够用，二者合起来才是基。
    基=线性无关+张成整个空间\text{基} = \text{线性无关} + \text{张成整个空间}

基的性质

路网系统确定后，市民的指路方式变得异常清晰：“先沿南北大道走 3 步，再沿东西大道走 2 步。”你会发现，这个地址是独一无二的——不存在另一套“走法”把你送到同一个地点，却报出不同的两个数字。

数学语言里，这对应基的核心性质：表示唯一性。给定一组基 B={v₁,…,vₙ}，空间中任意向量 v 都能唯一地写成这组基的线性组合，组合系数 (c₁,…,cₙ) 就称为 v 在基 B 下的坐标向量。唯一性来自线性无关：如果两种表示存在，相减会得到一组不全为零的系数使组合为零，矛盾。

此外，同一空间的任何两组基都有相同数量的向量——这个“数量”与具体基的选择无关。正因为与选择无关，它才配得上“维度”这个名称。基的另一个迷人之处是：满足条件的方向组合有无穷多组，就像城市的主干道可以整体旋转一个角度，依然还是合格的主干道。

城市有了骨架后，每个地点都有了唯一的“门牌号”。你可以放心地在坐标层面做运算：两个地址相加、乘以倍数，都对应真实位置的移动。骨架换来清晰的代数规则——这正是基被誉为空间“坐标系”的原因。

v=c1v1+c2v2+⋯+cnvn,[v]B=(c1,c2,…,cn)T\mathbf{v}=c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_n\mathbf{v}_n,\qquad [\mathbf{v}]_B=(c_1,c_2,\ldots,c_n)^{\mathsf{T}}
左边是向量的“物理存在”，右边是它在指定骨架下的“门牌地址”——基一变，地址就变。
  1. 线性组合展开把任意向量拆解到基的各个方向上，系数就是沿着每个方向走的步数。
    v=c1v1+⋯+cnvn\mathbf{v}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n
  2. 坐标表示唯一基线性无关保证了系数唯一，线性组合与坐标向量一一对应。
    [v]B=(c1,c2,…,cn)T[\mathbf{v}]_B=(c_1,c_2,\ldots,c_n)^{\mathsf{T}}
  3. 坐标加法与数乘坐标可以逐分量相加、按标量缩放，运算与向量本身保持一致。
    [u+v]B=[u]B+[v]B,[kv]B=k[v]B[\mathbf{u}+\mathbf{v}]_B=[\mathbf{u}]_B+[\mathbf{v}]_B,\quad [k\mathbf{v}]_B=k[\mathbf{v}]_B

维度的概念

如果这座城市只有两条主干道，报两个数就能定位；如果换成一条笔直的长街呢？所有房子都在这条线上，一个数字就够。城市的“宽广度”——需要几个数字才能描述一个地点——就是生活里的维度直觉。

数学中，向量空间 V 的维度定义为它任意一组基所含向量的个数，记作 dim(V)。因为所有基大小相同，这个定义不依赖于选择。平面维度为 2，立体空间维度为 3，一条过原点的直线维度为 1，只含零向量的空间约定维度为 0。

维度还有更深一层的含义：它是空间中线性无关向量能取到的最大数量，也是张成整个空间所需的最少向量数。若 V 可由有限个向量张成，称为有限维空间，如 Rⁿ、多项式空间 Pₙ；否则为无限维空间，如全体多项式构成的空间、连续函数空间。

一场城市规划报告的开头，总会先写“本城为 2 维平面城市”。这句话一旦确定，所有关于“需要几个坐标、能容纳多少独立方向”的问题都尘埃落定。维度的意义正在于此：它用一个数，概括了整个空间最根本的结构特征。

dim⁡(V)=n,dim⁡{0}=0\dim(V)=n,\qquad \dim\{\mathbf{0}\}=0
维度是空间的“身份证号”：不同维度意味着本质不同的空间结构，就像一维街巷与二维平面在骨架上天差地别。
  1. 维度即基的大小取任意一组基，数一数有多少个向量，结果就是维度，与选哪组基无关。
    dim⁡(V)=∣{v1,…,vn}∣=n\dim(V)=|\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}|=n
  2. 零空间约定空集张成零空间，记维度为 0，保证维数定义覆盖所有子空间。
    dim⁡{0}=0\dim\{\mathbf{0}\}=0
  3. 最大无关个数维度同时等于空间中线性无关向量组最多能取的个数，两者互相印证。
    dim⁡(V)=max⁡{k∣v1,…,vk 线性无关}\dim(V)=\max\{k \mid \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k \text{ 线性无关}\}

维数定理

城市不断扩建：老城区已经定型，新城区向外延伸。工程师发现，新区道路可以补全老路网——只要给老城区补上新区独有的方向，整个大城市的骨架就成型了。而两片城区合并时，重叠地带的道路要小心别重复计算。

这些规划智慧对应线性代数中的重要定理。基扩张定理说：任一线性无关向量组都可以扩充成整个空间的一组基，它保证“骨架永远可以补全”。子空间维数受限定理则说：若 W 是 V 的子空间，则 dim(W) ≤ dim(V)，等号当且仅当 W=V。

两个子空间的和与交满足维数公式：dim(V+W)=dim V+dim W−dim(V∩W)，重叠部分被扣除以免重复计数。对线性映射 T:V→W，还有秩-零化度定理：dim V=rank(T)+nullity(T)，即定义域的维数等于像的维数与核的维数之和，恰似“输入空间的自由度 = 有效输出自由度 + 被压缩掉的自由度”。

路网合并时，工程师最常说的口诀是“先加后扣”：两片城区各自的方向数相加，再把重叠路段扣掉，就得到大城区的维度。而任何线性变换（如同地图投影）都不会凭空创造自由度，它只是把定义域的自由度重新分配为“有效输出方向”与“被压扁方向”两部分。

dim⁡(V+W)=dim⁡(V)+dim⁡(W)−dim⁡(V∩W)\dim(V+W)=\dim(V)+\dim(W)-\dim(V\cap W)
两个子空间“并区”的维数，等于各自维度之和减去交集维度——重叠越多，扣得越多。
  1. 子空间维数受限子空间的维度不超过母空间，且相等时二者重合，说明“城区不可能比全城大”。
    W⊆V⇒dim⁡(W)≤dim⁡(V)W\subseteq V \Rightarrow \dim(W)\le\dim(V)
  2. 和的维数公式V+W 的维数按两部分相加，并扣除交集中的重复部分。
    dim⁡(V+W)=dim⁡(V)+dim⁡(W)−dim⁡(V∩W)\dim(V+W)=\dim(V)+\dim(W)-\dim(V\cap W)
  3. 秩零化度定理线性映射的秩（像维数）与零化度（核维数）之和等于定义域维数。
    dim⁡(V)=rank⁡(T)+nullity⁡(T)\dim(V)=\operatorname{rank}(T)+\operatorname{nullity}(T)

坐标变换

城市通地铁后，市民的指路方式变了：以前说“南北 3 步、东西 2 步”，现在说“乘 1 号线坐 2 站、换 2 号线坐 3 站”。同一个家，两套地址，谁都没错——只是地图换了。

数学上，同一向量在不同基下有不同坐标。设 B={v₁,…,vₙ} 与 B'={u₁,…,uₙ} 是 V 的两组基，想知道 [x]_B 与 [x]_{B'} 如何互相转换，就需要过渡矩阵：把旧基每个向量 vⱼ 在新基 B' 下的坐标作为第 j 列，拼成的矩阵记为 P。

有了过渡矩阵 P，坐标变换公式为 [x]_{B'}=P[x]_B——把旧基下的“步数”左乘 P，就得到新基下的“站数”。因为两组基都是合格骨架，P 必然可逆，且 [x]_B=P⁻¹[x]_{B'} 给出反向变换。这也表明：在有限维空间中选取一组基，本质上是建立了一个从向量空间到 Rⁿ 的线性同构，空间结构本身不随坐标选择而改变。

两张地图描述同一个家，只要手握翻译手册（过渡矩阵），就能自如地切换地址表达。向量空间本身并没有变，变化的是我们观察它的“坐标系”。学会坐标变换，等于拥有了在不同路网之间无缝切换的导航能力。

[x]B′=P[x]B,P=([v1]B′,[v2]B′,…,[vn]B′)[\mathbf{x}]_{B'}=P[\mathbf{x}]_{B},\qquad P=\big([\mathbf{v}_1]_{B'},[\mathbf{v}_2]_{B'},\ldots,[\mathbf{v}_n]_{B'}\big)
过渡矩阵是一本“地址翻译手册”：它把旧路网的步数逐列翻译成新地铁网的站数。
  1. 过渡矩阵的构造把旧基每个向量在新基下的坐标写成列，拼成矩阵 P。
    P=([v1]B′,[v2]B′,…,[vn]B′)P=\big([\mathbf{v}_1]_{B'},[\mathbf{v}_2]_{B'},\ldots,[\mathbf{v}_n]_{B'}\big)
  2. 坐标变换公式旧坐标左乘 P 得到新坐标，矩阵乘法恰好完成线性组合的“重新打包”。
    [x]B′=P[x]B[\mathbf{x}]_{B'}=P[\mathbf{x}]_{B}
  3. 过渡矩阵可逆基与基互相翻译必然可逆，反向变换用 P 的逆完成。
    [x]B=P−1[x]B′[\mathbf{x}]_{B}=P^{-1}[\mathbf{x}]_{B'}

空间实例

有些城区用途特殊：比如老城改造区，所有街道都朝向同一个“扩张方向”；再比如大学校区，道路以“第几教学楼、第几层”编号。特殊城区的骨架，往往藏着空间的深层秘密。

特征空间是最典型的例子。对 n 阶方阵 A 与特征值 λ，所有满足 Av=λv 的向量（连同零向量）构成特征子空间 E_λ，它是线性变换中“只伸缩不转向”的方向集合。E_λ 的维度称为几何重数，公式为 dim E_λ=n−rank(A−λI)，即矩阵 A−λI 的零空间维度。

其他常见空间同样有清晰的骨架。多项式空间 P_n 由次数不超过 n 的多项式构成，一组标准基是 {1,x,x²,…,xⁿ}，共 n+1 个向量，故 dim P_n=n+1；矩阵空间 M_{m×n} 的标准基由只含一个 1、其余全为 0 的“单点矩阵”组成，维度为 mn。几何上，R² 是平面、R³ 是立体空间，而高维向量空间则是数据在抽象意义上的栖身之所。

走出抽象的数学城，你会发现每个特殊城区都有自己“定制的主干道”：特征空间的主干道指向变换不变的方向，多项式区的主干道是 1、x、x²……找到一组恰当的基本质上就是为这个空间选好了最顺手的门牌语言。基与维度，正是理解所有这些空间结构的通用钥匙。

Eλ={v∈V∣Av=λv},dim⁡(Eλ)=dim⁡(V)−rank⁡(A−λI)E_\lambda=\{\mathbf{v}\in V \mid A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\},\qquad \dim(E_\lambda)=\dim(V)-\operatorname{rank}(A-\lambda I)
特征空间的维度，等于“在某个方向上只伸缩不转向”的自由度数——这个方向的自由度越大，维度越高。
  1. 特征空间定义所有满足 A v = λ v 的向量构成子空间，特征向量与零向量共同组成。
    Eλ={v∣Av=λv}E_\lambda=\{\mathbf{v}\mid A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\}
  2. 几何重数计算E_λ 正是 A−λI 的零空间，维度等于矩阵阶数 n 减去该矩阵的秩。
    dim⁡(Eλ)=dim⁡(N(A−λI))=n−rank⁡(A−λI)\dim(E_\lambda)=\dim\big(N(A-\lambda I)\big)=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I)
  3. 多项式空间基{1,x,x²,…,xⁿ} 线性无关且张成 P_n，故维度为 n+1。
    dim⁡(Pn)=n+1\dim(P_n)=n+1

AI 应用场景

场景一：PCA 降维——在高维数据里找“主干道”

阶段：数据预处理与特征工程

解决的问题：图像、文本等高维数据动辄成千上万维，特征之间高度相关，直接建模既慢又容易过拟合。传统做法人工挑特征，费力且主观；PCA 借用“基”的思想，在数据张成的子空间里找出一组正交基（主成分），用前 k 个主成分作为新坐标轴，把数据投到低维子空间。

具体案例：一张 64×64 的灰度图是 4096 维向量。用 PCA 对 10 万张人脸图片做分析，发现前几十个主成分就保留了约 95% 的方差信息，其余方向几乎全是噪声。把数据投影到主成分张成的低维子空间后，训练速度和泛化性能都大幅提升。

场景二：词嵌入——语义空间中的“基方向”

阶段：模型的表征学习与推理

解决的问题：Word2Vec 等模型把每个词映射成几百维的向量，这些向量张成的空间里，“性别”“时态”等语义概念恰好对应某些特定方向。理解基与线性组合，才能解释为什么 "king − man + woman ≈ queen" 这类经典运算成立。

具体案例：训练好的词向量空间中，可以人工指定“性别方向”这类语义轴（相当于一组小基），把向量分解到这些轴上，从而实现可控文本生成，例如在翻译或对话系统中调整语气风格。

场景三：图形渲染——坐标系间的无缝切换

阶段：模型推理与可视化输出

解决的问题：三维场景渲染需要把物体从局部坐标换到世界坐标、再换到相机坐标，本质就是一次次的基变换；过渡矩阵正是这套切换的“翻译手册”，少了它画面就会错位。

具体案例：游戏引擎每帧对成千上万个顶点做坐标变换，底层调用矩阵乘法完成基变换；在 AI 生成 3D 场景的管线中，同样依赖这套坐标框架拼接不同视角的输出结果。

Python 演示

python33 行
import numpy as np def is_basis(vectors, dim):    """判断 vectors 是否构成 R^dim 的一组基"""    A = np.array(vectors, dtype=float).T    if A.shape != (dim, dim):        return False    return np.linalg.matrix_rank(A) == dim def coordinates(v, basis):    """把向量 v 表示为 basis 的线性组合, 返回坐标向量"""    B = np.array(basis, dtype=float).T    v_arr = np.array(v, dtype=float)    return np.linalg.solve(B, v_arr) def transition_matrix(old_basis, new_basis):    """从旧基坐标转到新基坐标的过渡矩阵 P"""    return np.column_stack([coordinates(v, new_basis) for v in old_basis]) def main():    standard = [(1.0, 0.0), (0.0, 1.0)]    rotated = [(1.0, 1.0), (-1.0, 1.0)]    print("标准基是基吗?", is_basis(standard, 2))    print("旋转基是基吗?", is_basis(rotated, 2))    v = (3.0, 2.0)    print("v 在标准基下坐标:", coordinates(v, standard))    print("v 在旋转基下坐标:", coordinates(v, rotated))    P = transition_matrix(standard, rotated)    print("过渡矩阵 P:\n", P)    print("P @ [v]_B =", P @ coordinates(v, standard)) if __name__ == "__main__":    main()
目的：用 numpy 判断一组向量是否为基，求解同一向量在不同基下的坐标，并构造过渡矩阵完成坐标变换，直观复现“同一地点两套地址”的核心思想。
  1. np.linalg.matrix_rank(A) == dim秩达到维度说明矩阵满秩，向量组线性无关且张成整个空间，也就是“双条件”的数字判定。
  2. np.array(vectors, dtype=float).T把向量按列排成矩阵，列向量正是“方向”的数学化身。
  3. np.linalg.solve(B, v_arr)解线性方程组 B·c=v，求出唯一坐标 c，靠的正是基的“表示唯一性”。
  4. np.column_stack([coordinates(v, new_basis) for v in old_basis])把每个旧基向量在新基下的坐标拼成过渡矩阵 P，制作“地址翻译手册”。
  5. P @ coordinates(v, standard)用矩阵乘法把标准基坐标翻译成旋转基坐标，验证公式 [x]_{B'}=P[x]_B。

常见误区

误区我总觉得 R² 里的向量有两个数字，所以维度就是 2；那 R³ 里每个向量有三个数字，维度当然是 3，数数字个数似乎从来没错过？

正解那是 Rⁿ 的巧合。维度由“基中向量个数”决定，而不是向量的分量个数。一条过原点的直线，其中的向量在 R² 里仍是“两个数字”，但这条直线是一维的——因为它的基只有一个向量。真正刻画空间“广度”的，是线性无关向量的最大个数。

为何常见：标准基 e₁,…,eₙ 太常用，以至于在 Rⁿ 中维数与分量个数恰好一致，大家就误把偶然当本质。

误区R² 的维度是 2，那我随便找两个向量，比如 (1,0) 和 (2,0)，个数正好是 2，就应该是一组基吧？

正解个数对还不够。两个方向必须线性无关才行，(1,0) 和 (2,0) 在同一条直线上，线性相关，只能张成一条直线而不是整个平面。反过来，如果一组向量线性无关但张不成全空间，同样不是基。张成空间与线性无关两个条件缺一不可。

为何常见：只记住了“维度 = 向量个数”的表面结论，忽略了基的成立前提是“线性无关 + 张成空间”的双条件认证。

误区说到 R² 的基，我首先想到的就是 (1,0) 和 (0,1)，感觉基就应该长这样，其他方向都不太像“正规”的基。

正解基的定义只要求线性无关且张成全空间，并不限定方向。旋转 45° 后的 (1,1) 与 (−1,1) 同样是一组优质基；甚至任意两个不共线的向量都能当 R² 的基。标准基只是因为形式简单、坐标直观，才被冠以“标准”之名。

为何常见：教材和课程里标准基出现频率太高，让人误以为基是唯一的；实际上满足条件的基有无穷多组。

误区零向量空间 {0} 里面至少含有一个向量 0，那它的维度数起来应该是 1 吧？

正解维度看的是线性无关向量的最大个数。零向量单独不构成线性无关组——c·0=0 对任意非零 c 都成立，系数不必全为零。因此零空间的基是空集，维度约定为 0。这也让维数公式对所有子空间保持统一。

为何常见：“数向量个数”的直觉在零空间失效，因为零向量是线性相关的特例，不能混入基中。

面试题

Q1. R³ 空间（三维几何空间）的维数是？

单选题 · easy

  • A.1 维
  • B.2 维
  • C.3 维← 正确答案
  • D.4 维

答案：C。R³ 的标准基含 e₁=e₂=e₃ 三个线性无关的向量，它们张成整个立体空间。维度就是基的大小，所以答案是 3。这就好比一座立体城市最少需要三条互不替代的方向才能定位任意楼层与角落；A、B、D 分别是直线、平面和四维空间的维度，与 R³ 不符。

Q2. 下列哪一组向量构成 R² 的一组基？

单选题 · easy

  • A.{(1,0),(2,0)}
  • B.{(1,1),(2,2)}
  • C.{(1,0),(0,1)}← 正确答案
  • D.{(1,0),(0,0)}

答案：C。(1,0) 与 (0,1) 线性无关且张成整个平面，是 R² 的标准基。A、B 中两个向量成倍数关系，线性相关，只能张成一条直线；D 含零向量，零向量无法进入任何基。记住基 = 线性无关 + 张成空间，两个条件缺一不可。

Q3. 一组向量要成为向量空间的基，需要满足哪些条件？

多选题 · mid

  • A.向量线性无关← 正确答案
  • B.张成整个空间← 正确答案
  • C.向量个数最多
  • D.模长都为 1

答案：AB。基必须同时满足线性无关与张成整个空间，缺一不可。C 错误：基的向量个数是固定的（等于维度），不存在“尽量多”；D 错误：模长为 1 只是单位化的要求，不是成为基的必要条件，未单位化的向量同样可以组成基。

Q4. 设 W 是向量空间 V 的子空间，则下列说法正确的是？

单选题 · mid

  • A.dim(W) 等于 dim(V)
  • B.dim(W) 不大于 dim(V)← 正确答案
  • C.dim(W) 大于 dim(V)
  • D.dim(W) 与 dim(V) 无关

答案：B。子空间的基可以扩张成母空间的基，因此子空间维数不超过母空间维数，选 B。只有 W=V 时才相等，所以 A 过于绝对；C 与维数定理直接矛盾；D 忽略了子空间维数由母空间约束这一事实，就像新城区不可能比全城还大。

Q5. 关于零空间的维数，下列说法正确的是？

多选题 · mid

  • A.零空间维数为 0← 正确答案
  • B.零空间的基是空集← 正确答案
  • C.零空间维数为 1
  • D.零向量不能作为基← 正确答案

答案：ABD。零空间只有零向量，而零向量线性相关，无法放入任何基中，因此其基是空集、维数约定为 0，A、B、D 均正确。C 错在把“含有一个向量”当成“维数为 1”——维度看的是线性无关向量的最大个数，而不是元素的个数。

Q6. 次数不超过 n 的多项式空间 Pₙ 的维数是？

单选题 · mid

  • A.恰好为 n
  • B.恰好为 n+1← 正确答案
  • C.恰好为 n-1
  • D.恰好为 2n

答案：B。{1,x,x²,…,xⁿ} 共 n+1 个多项式，它们线性无关且能表示 Pₙ 中任意多项式，是一组标准基，所以维度为 n+1。A 忘记包含常数项 1；C、D 与标准基的构造不符。这提醒我们：数基的个数时要数全，常数项往往是那个“看不见的第 0 条主干道”。

Q7. 下列关于标准基的说法，正确的是？

多选题 · mid

  • A.第 i 个分量为 1← 正确答案
  • B.标准基是唯一的
  • C.标准基张成空间← 正确答案
  • D.标准基线性相关

答案：AC。标准基 eᵢ 的第 i 个分量为 1、其余为 0，全体标准基线性无关并张成 Rⁿ，A、C 正确。标准基只是众多基中形式最简洁的一组，绝不是唯一的，旋转后的向量组同样是基；线性相关与基的性质相悖，D 错误。

Q8. 设 dim(V)=5，dim(W)=3，且 V∩W={0}，则 dim(V+W) 为？

单选题 · hard

  • A.维数为 8← 正确答案
  • B.维数为 5
  • C.维数为 3
  • D.维数为 2

答案：A。由维数公式 dim(V+W)=dim V+dim W−dim(V∩W)，代入得 5+3−0=8。两个子空间的交为零空间，说明没有重叠“路段”，维度直接相加即可；若交集非零，则必须扣掉重复计数的部分。

Q9. 从基 B 到基 B'，设过渡矩阵为 P，则坐标变换公式正确的是？

单选题 · hard

  • A.[x]B' = P·[x]B← 正确答案
  • B.[x]B' = P⁻¹·[x]B
  • C.[x]B' = P+[x]B
  • D.[x]B' = P·[x]B'

答案：A。约定过渡矩阵 P 的第 j 列为旧基向量在新基下的坐标，则新坐标等于过渡矩阵左乘旧坐标，即 [x]_{B'}=P[x]_B。B 中的逆矩阵对应反向变换；C、D 形式错误，矩阵与坐标之间是乘法而非加法，变换也不可能是“自己乘自己”。

Q10. 设线性映射 T:R⁵→R³，若 rank(T)=2，则 T 的零化度 nullity(T) 为？

单选题 · extreme

  • A.零化度为 3← 正确答案
  • B.零化度为 2
  • C.零化度为 1
  • D.零化度为 0

答案：A。秩-零化度定理给出 dim V=rank(T)+nullity(T)，即 5=2+nullity(T)，故 nullity(T)=3。像的维数（秩）与核的维数（零化度）之和等于定义域维数，这是线性映射的“自由度守恒”：输入空间的 5 个自由度里，2 个投影到有效输出，3 个被压缩进零空间。